Die Bipartisan/Range-Methode
I. Grundprinzipien
Die Wahl besteht aus zwei Runden, wobei die zweite gegebenenfalls entfällt:-
In der ersten Runde ordnet jeder Wähler die Kandidaten in eine Rangfolge.
In den meisten Fällen gibt es einen „Condorcet-Gewinner“ (d. h. einen Kandidaten, der alle anderen Kandidaten in paarweisen Vergleichen der Stimmenzahl schlägt), der dann gewählt wird.
Andernfalls liegt ein „Condorcet-Paradox“ vor (z. B. A>B, B>C und C>A). In diesem Fall wird eine führende Gruppe bestimmt, die Bipartisan-Menge genannt wird (siehe unten). - In der zweiten Runde vergeben die Wähler, falls ein Condorcet-Paradox vorliegt, jedem Kandidaten der Bipartisan-Menge eine Bewertung zwischen 0 und 100 %.
Der Kandidat mit dem höchsten Durchschnittswert wird gewählt.
II. Wie die Bipartisan-Menge gebildet wird
Die Bildung der Bipartisan-Menge erinnert an Strategiespiele wie Schere-Stein-Papier. Dieser Vergleich hilft, den zugrunde liegenden Prozess besser zu verstehen.
A. Der Duellgraph
Stellen Sie sich die Kandidaten zunächst als Spielelemente vor, wie Stein, Papier oder Schere. Um die Beziehungen zwischen ihnen zu bestimmen, erstellen wir einen „Duellgraphen“. In diesem Graphen wird jeder Kandidat als Knoten dargestellt. Wird ein Kandidat im paarweisen Vergleich einem anderen vorgezogen, wird ein gerichteter Pfeil vom Knoten des gewinnenden Kandidaten zum Knoten des unterlegenen Kandidaten gezeichnet. Ein Beispiel für einen solchen Graphen wird unten angezeigt:
Es ist wichtig zu beachten, dass die Bildung der Bipartisan-Menge ausschließlich von der Struktur dieses Graphen abhängt und nicht von der Anzahl der Stimmen, die jeder paarweise Vergleich erhalten hat.
B. Ermittlung der optimalen Strategie
Für jede Konfiguration des Graphen gibt es eine optimale, unbesiegbare Strategie, genau wie bei Spielen wie Schere-Stein-Papier. Bei Schere-Stein-Papier besteht die unbesiegbare Strategie beispielsweise darin, jeweils zu einem Drittel Stein, Papier und Schere zu spielen. Das bedeutet, dass keine andere Strategie auf lange Sicht besser abschneiden kann. Ändern wir jedoch die Regeln so, dass Papier gegen Stein verliert, verschiebt sich die optimale Strategie dahin, immer Stein zu wählen. In diesem veränderten Spiel wird Stein zum einzigen Element der Bipartisan-Menge.
Im Wesentlichen wird die Bipartisan-Menge gebildet, indem ein Duellgraph analysiert, die optimale, unbesiegbare Strategie ermittelt und die Kandidaten ausgewählt werden, die in dieser Strategie eine Wahrscheinlichkeit größer null haben.
C. Beispiele für die Bipartisan-Menge in der Praxis
Beispiel 1:
Bei einem Szenario mit A > B und A > C müsste man in einem Spiel wie Schere-Stein-Papier A wählen, um die Gewinnchancen zu maximieren. A geht als klarer Sieger hervor und wird Condorcet-Gewinner genannt.
In diesem komplexeren Szenario lohnt es sich, wendet man die Schere-Stein-Papier-Mechanik an, nicht, D zu spielen, da es immer von A, B und C geschlagen wird. Es besteht jedoch ein Zyklus (ein Condorcet-Paradox) zwischen A, B und C. Die optimale Strategie wäre dann: P(A) = P(B) = P(C) = 1/3, und P(D) = 0. Die Bipartisan-Menge besteht somit aus {A, B, C}. Folglich wird eine zweite Runde eingeleitet, in der die Kandidaten A, B und C per Bewertungswahl abgestimmt werden.
Ein noch komplizierterer Fall: Es besteht weiterhin ein Zyklus zwischen A, B, C, aber dieser Außenseiter D schafft es, einen führenden Kandidaten (A) zu schlagen. Er kann jedoch als Unterklon von C betrachtet werden. Jedes Duell, das D gewinnt, gewinnt auch C, und C übertrifft D. Überträgt man dies auf ein Schere-Stein-Papier-ähnliches Spiel, ist es stets vorteilhafter, C statt D zu wählen. Die unbesiegbare Strategie bleibt P(A) = P(B) = P(C) = 1/3, und P(D) = 0, sodass die Bipartisan-Menge {A, B, C} ist.
Nur zum Spaß, oder als Denksportaufgabe, zeigt dieses Beispiel, dass es noch komplizierter sein kann. D wäre fast ein Unterklon von A, gewinnt aber gegen E, während E gegen A gewinnt. Um diesmal zu zeigen, dass die optimale Strategie P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 und P(D) = P(E) = P(F) = 0 ist, müssen wir sehen, dass jedes Element gegen diese Strategie mindestens so oft verliert wie es gewinnt, und tatsächlich:
- A gewinnt 1/3 der Fälle gegen C, verliert aber 1/3 der Zeit gegen B (Gleichstand mit sich selbst in 1/3 der Zeit)
- B gewinnt 1/3 der Fälle gegen A, verliert aber 1/3 der Zeit gegen C
- C gewinnt 1/3 der Fälle gegen B, verliert aber 1/3 der Zeit gegen A
- D gewinnt nur 1/3 der Fälle gegen C, verliert aber 2/3 der Zeit gegen A und B
- E gewinnt nur 1/3 der Fälle gegen A, verliert aber 2/3 der Zeit gegen B und C
- F gewinnt nur 1/3 der Fälle gegen B, verliert aber 2/3 der Zeit gegen A und C
III. Warum nicht mehr Kandidaten berücksichtigen? (Die Smith-Menge?)
Die Smith-Menge umfasst Kandidaten, die alle anderen außerhalb der Menge im paarweisen Vergleich schlagen können. Im nebenstehenden Beispiel sehen wir den Unterschied zwischen der Smith-Menge und der Bipartisan-Menge.
Der Vorteil der Bipartisan-Menge gegenüber der Smith-Menge besteht darin, dass sie bereits in der ersten Runde eine verfeinerte Auswahl liefert, wodurch die Bewertungswahl vereinfacht und der Einfluss taktischen Wählens begrenzt wird.
Hat ein Wähler im obigen Beispiel 4 etwa lineare Präferenzen über 6 Kandidaten (d. h. die Zustimmungswerte sind A:1, B:0,8, C:0,6, D:0,4, E:0,2, F:0) und sind die beiden führenden Kandidaten der Gesamtliste B und C, sollte dieser Wähler A:1, B:1, C:0, D:0, E:0, F:0 setzen. Damit hat er 5-mal mehr Einfluss darauf, B statt C wählen zu lassen, als wenn er ehrlich bewertet hätte. Je mehr Kandidaten es gibt, desto bedeutsamer kann dieses Verhältnis statistisch werden, weshalb die Bewertungswahl als besser gelten kann, wenn die Zahl der Alternativen gering ist — dies ist ein Grund, die Bipartisan-Menge der Smith-Menge vorzuziehen.
Darüber hinaus eliminiert die Bipartisan-Menge irrelevante „Klone“ und stellt sicher, dass diese den weiteren Verlauf der Wahl nicht beeinflussen.