Il metodo Bipartisan/Range
I. Principi
L'elezione è composta da due turni, con il secondo potenzialmente istantaneo:-
Nel primo turno, ogni elettore classifica i candidati.
Nella maggior parte dei casi, c'è un "vincitore di Condorcet" (cioè un candidato che batte tutti gli altri candidati nei confronti diretti a coppie in termini di numero di voti) e viene eletto.
In caso contrario, si tratta di un "paradosso di Condorcet" (ad es. A>B, B>C, e C>A). In questo caso, viene determinato un gruppo di testa, chiamato insieme bipartisan (vedi sotto). - Nel secondo turno, se esiste un paradosso di Condorcet, gli elettori assegnano un punteggio tra 0 e 100% a ciascun candidato all'interno dell'insieme bipartisan.
Viene eletto il candidato che ottiene il punteggio medio più alto.
II. Come si forma l'insieme bipartisan
La formazione dell'insieme bipartisan richiama giochi strategici come sasso-carta-forbici. Questo paragone permette di comprendere meglio il processo coinvolto.
A. Il grafo dei duelli
Innanzitutto, immaginiamo i candidati come elementi di gioco, come sasso, carta o forbici. Per determinare le relazioni tra loro, creiamo un "grafo dei duelli". In questo grafo, ogni candidato è rappresentato come un nodo. Quando un candidato è preferito a un altro nei confronti diretti, viene tracciata una freccia diretta dal nodo del candidato vincente verso il nodo del candidato perdente. Un esempio di questo grafo è mostrato di seguito:
È fondamentale notare che la formazione dell'insieme bipartisan dipende esclusivamente dalla struttura di questo grafo e non dal numero di voti ottenuti in ciascun confronto diretto.
B. Identificare la strategia ottimale
Per ogni configurazione del grafo, esiste una strategia ottimale e imbattibile, proprio come nei giochi tipo sasso-carta-forbici. Prendendo ad esempio sasso-carta-forbici, giocare sasso, carta e forbici ciascuno per 1/3 delle volte costituisce una strategia imbattibile. Questo significa che nessun'altra strategia può aspettarsi di superarla nel lungo periodo. Tuttavia, se modifichiamo le regole in modo che la carta perda contro il sasso, allora la strategia ottimale diventa scegliere sempre sasso. In questo gioco modificato, il sasso diventa l'unico elemento dell'insieme bipartisan.
In sostanza, l'insieme bipartisan viene costruito analizzando un grafo dei duelli, identificando la strategia ottimale e imbattibile, e selezionando i candidati che hanno una probabilità non nulla in questa strategia.
C. Esempi dell'insieme bipartisan in azione
Esempio 1:
Per uno scenario con A > B e A > C, in un gioco come sasso-carta-forbici, si dovrebbe scegliere A per massimizzare le proprie possibilità di vittoria. A emerge come chiaro vincitore, denominato vincitore di Condorcet.
In questo scenario più complesso, se applichiamo le meccaniche del gioco sasso-carta-forbici, non c'è alcun interesse a giocare D, poiché è sempre battuto da A, B e C. Ma c'è un ciclo (un paradosso di Condorcet) tra A, B e C. La strategia ottimale sarebbe quindi: P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 , e P(D) = 0. Quindi, l'insieme bipartisan è composto da {A, B, C}. Di conseguenza, viene avviato un secondo turno in cui i candidati A, B e C vengono votati per punteggio.
Un caso ancora più complicato, c'è ancora un ciclo tra A, B, C ma questo D pareggiato riesce a battere un candidato di testa (A). Tuttavia, può essere considerato un sub-clone di C. Ogni duello che D vince è vinto anche da C, e C supera D. Traducendo questo in un gioco tipo sasso-carta-forbici, è sempre più vantaggioso scegliere C piuttosto che D. La strategia imbattibile rimane P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 , e P(D) = 0, il che porta l'insieme bipartisan a essere {A, B, C}.
Solo per divertimento, o per curiosità, questo esempio mostra che può diventare ancora più complicato. D sarebbe quasi un sub-clone di A ma vince contro E mentre E batte A. Questa volta, per mostrare che la strategia ottimale è P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 , e P(D) = P(E) = P(F) = 0, dobbiamo verificare che ogni elemento venga battuto almeno tanto spesso quanto vince contro questa strategia, e infatti:
- A vince 1/3 delle volte contro C, ma perde 1/3 delle volte contro B (pareggio con se stesso 1/3 delle volte)
- B vince 1/3 delle volte contro A, ma perde 1/3 delle volte contro C
- C vince 1/3 delle volte contro B, ma perde 1/3 delle volte contro A
- D vince solo 1/3 delle volte contro C, ma perde 2/3 delle volte contro A e B
- E vince solo 1/3 delle volte contro A, ma perde 2/3 delle volte contro B e C
- F vince solo 1/3 delle volte contro B, ma perde 2/3 delle volte contro A e C
III. Perché non prendere più candidati? (L'insieme di Smith?)
L'insieme di Smith comprende i candidati che possono battere tutti gli altri al di fuori dell'insieme nei confronti diretti. Nell'esempio a fianco, vediamo la differenza tra l'insieme di Smith e l'insieme bipartisan.
Il vantaggio dell'insieme bipartisan rispetto all'insieme di Smith è la sua capacità di fornire una selezione più raffinata durante il primo turno, semplificando così il processo di voto per punteggio e limitando l'influenza del voto strategico.
Infatti, nell'esempio 4 sopra, se un elettore ha preferenze approssimativamente lineari su 6 candidati (cioè le approvazioni sono A:1, B:0,8, C:0,6, D:0,4, E:0,2, F:0) e se i primi due candidati nella classifica generale sono B e C, questo elettore dovrebbe impostare A:1, B:1, C:0, D:0, E:0, F:0. Facendo così, ha 5 volte più influenza nell'eleggere B rispetto a C che se avesse votato sinceramente. Più candidati ci sono, più significativo può essere statisticamente questo rapporto, e quindi il voto per punteggio può essere considerato migliore quando il numero di alternative è basso, ed è questa una ragione per scegliere l'insieme bipartisan rispetto all'insieme di Smith.
Inoltre, l'insieme bipartisan elimina i "cloni" irrilevanti, garantendo che non interferiscano con il resto dell'elezione.