BipartiVox - Метод «Бипартизан/Оценка»

I. Принципы

Выборы состоят из двух туров, причём второй может проходить мгновенно:

В первом туре каждый избиратель ранжирует кандидатов.
В большинстве случаев находится «победитель по Кондорсе» (то есть кандидат, побеждающий всех остальных кандидатов в личных сравнениях по числу голосов), и он избирается.
В противном случае возникает «парадокс Кондорсе» (например, A>B, B>C и C>A). Тогда определяется ведущая группа, называемая бипартизанским множеством (см. ниже).
Во втором туре, если возник парадокс Кондорсе, избиратели выставляют каждому кандидату из бипартизанского множества оценку от 0 до 100%.
Избирается кандидат с наивысшей средней оценкой.

II. Как формируется бипартизанское множество

Формирование бипартизанского множества напоминает стратегические игры вроде «камень-ножницы-бумага». Это сравнение помогает лучше понять сам процесс.

А. Граф дуэлей

Прежде всего представим кандидатов как элементы игры — камень, ножницы или бумагу. Чтобы определить отношения между ними, мы строим «граф дуэлей». В этом графе каждый кандидат представлен узлом. Когда один кандидат предпочитается другому при попарном сравнении, от узла победившего кандидата к узлу проигравшего проводится направленная стрелка. Пример такого графа показан ниже:

Важно отметить, что формирование бипартизанского множества зависит только от структуры этого графа, а не от числа голосов, набранных в каждом попарном сравнении.

B. Определение оптимальной стратегии

Для любой конфигурации графа существует оптимальная, непобедимая стратегия — точно так же, как в играх вроде «камень-ножницы-бумага». Возьмём для примера саму игру «камень-ножницы-бумага»: стратегия, при которой каждый из вариантов — камень, бумага, ножницы — выбирается в 1/3 случаев, является непобедимой. Это означает, что ни одна другая стратегия не может в среднем превзойти её в долгосрочной перспективе. Однако если изменить правила так, что бумага проигрывает камню, оптимальная стратегия сместится к постоянному выбору камня. В этой изменённой игре камень становится единственным элементом бипартизанского множества.

По сути, бипартизанское множество строится путём анализа графа дуэлей, определения оптимальной непобедимой стратегии и отбора кандидатов, имеющих в этой стратегии ненулевую вероятность.

C. Примеры работы бипартизанского множества

Пример 1:

В сценарии, где A > B и A > C, в игре типа «камень-ножницы-бумага» для максимизации шансов на победу следовало бы выбрать A. A становится явным победителем и называется победителем по Кондорсе.

Пример 2:

В этом более сложном сценарии, если применить механику игры «камень-ножницы-бумага», нет смысла выбирать D, поскольку он всегда проигрывает A, B и C. Но между A, B и C есть цикл (парадокс Кондорсе). Тогда оптимальная стратегия будет такой: P(A) = P(B) = P(C) = 1/3, и P(D) = 0. Таким образом, бипартизанское множество состоит из {A, B, C}. Следовательно, назначается второй тур, в котором кандидаты A, B и C оцениваются по шкале.

Пример 3:

Ещё более сложный случай: между A, B, C по-прежнему есть цикл, но этот кандидат D умудряется победить одного из ведущих кандидатов (A). Однако его можно рассматривать как своего рода клон C. Каждую дуэль, которую выигрывает D, выигрывает и C, причём C превосходит D. Переводя это на язык игры типа «камень-ножницы-бумага», выбирать C вместо D всегда выгоднее. Непобедимая стратегия остаётся P(A) = P(B) = P(C) = 1/3, и P(D) = 0, поэтому бипартизанское множество — {A, B, C}.

Пример 4:

Просто ради интереса — или для проверки понимания — этот пример показывает, что всё может быть ещё сложнее. D был бы почти клоном A, но он побеждает E, тогда как E побеждает A. На этот раз, чтобы показать, что оптимальная стратегия — это P(A) = P(B) = P(C) = 1/3, и P(D) = P(E) = P(F) = 0, нужно убедиться, что каждый элемент проигрывает этой стратегии не реже, чем выигрывает у неё, и действительно:

A выигрывает у C в 1/3 случаев, но проигрывает B в 1/3 случаев (ничья с самим собой в 1/3 случаев)
B выигрывает у A в 1/3 случаев, но проигрывает C в 1/3 случаев
C выигрывает у B в 1/3 случаев, но проигрывает A в 1/3 случаев
D выигрывает у C лишь в 1/3 случаев, но проигрывает A и B в 2/3 случаев
E выигрывает у A лишь в 1/3 случаев, но проигрывает B и C в 2/3 случаев
F выигрывает у B лишь в 1/3 случаев, но проигрывает A и C в 2/3 случаев

Таким образом, бипартизанское множество — {A, B, C}.

III. Почему бы не взять больше кандидатов? (Множество Смита?)

Множество Смита включает кандидатов, которые побеждают в личных встречах всех остальных кандидатов вне множества. В примере рядом видна разница между множеством Смита и бипартизанским множеством.

Преимущество бипартизанского множества перед множеством Смита в том, что оно даёт более точный отбор уже в первом туре, упрощая тем самым оценочное голосование и ограничивая влияние стратегического голосования.

Действительно, в примере 4 выше, если у избирателя примерно линейные предпочтения по 6 кандидатам (то есть оценки одобрения A:1, B:0,8, C:0,6, D:0,4, E:0,2, F:0) и если два лидирующих кандидата в общем списке — B и C, этому избирателю следовало бы выставить A:1, B:1, C:0, D:0, E:0, F:0. Поступив так, он получает в 5 раз больше влияния на избрание B вместо C, чем если бы оценивал искренне. Чем больше кандидатов, тем более значимым может статистически оказаться это соотношение, поэтому оценочное голосование можно считать более удачным решением при малом числе альтернатив — и это довод в пользу выбора бипартизанского множества, а не множества Смита.

Кроме того, бипартизанское множество устраняет несущественных «клонов», не позволяя им влиять на остальную часть выборов.