La méthode Bipartisan/Range
I. Principes
L'élection se déroule en deux tours, le second pouvant être instantané :-
Au premier tour, chaque votant classe les candidats.
La plupart du temps, il existe un « vainqueur de Condorcet » (un candidat qui bat tous les autres en nombre de voix dans les duels) et il est élu.
Sinon, c'est un « paradoxe de Condorcet » (p. ex. A>B, B>C et C>A). Un groupe de tête, appelé ensemble bipartisan, est alors déterminé (voir ci-dessous). - Au second tour, en cas de paradoxe de Condorcet, les votants attribuent un score de 0 à 100 % à chaque candidat de l'ensemble bipartisan.
Le candidat obtenant le meilleur score moyen est élu.
II. Comment se forme l'ensemble bipartisan
La formation de l'ensemble bipartisan rappelle des jeux stratégiques comme pierre-feuille-ciseaux. Cette comparaison permet de mieux comprendre le processus en jeu.
A. Le graphe des duels
Imaginez d'abord les candidats comme des éléments de jeu, comme pierre, feuille ou ciseaux. Pour déterminer les relations entre eux, on construit un « graphe des duels ». Dans ce graphe, chaque candidat est un nœud. Lorsqu'un candidat est préféré à un autre en duel, une flèche est tracée du nœud vainqueur vers le nœud perdant. Un exemple de ce graphe est présenté ci-dessous :
Il est essentiel de noter que la formation de l'ensemble bipartisan dépend uniquement de la structure de ce graphe et non du nombre de voix obtenues dans chaque duel.
B. Identifier la stratégie optimale
Pour chaque configuration du graphe, il existe une stratégie optimale imbattable, tout comme dans des jeux comme pierre-feuille-ciseaux. En prenant pierre-feuille-ciseaux, jouer chacun de pierre, feuille et ciseaux 1/3 du temps constitue une stratégie imbattable. Aucune autre stratégie ne peut espérer faire mieux à long terme. Cependant, si l'on modifie les règles pour que la feuille perde contre la pierre, la stratégie optimale devient de toujours choisir la pierre. Dans ce jeu modifié, la pierre devient le seul élément de l'ensemble bipartisan.
En résumé, l'ensemble bipartisan se construit en analysant un graphe des duels, en identifiant la stratégie optimale imbattable, et en sélectionnant les candidats ayant une probabilité non nulle dans cette stratégie.
C. Exemples de l'ensemble bipartisan en action
Exemple 1 :
Dans un scénario où A > B et A > C, dans un jeu comme pierre-feuille-ciseaux, il faudrait choisir A pour maximiser ses chances de gagner. A s'impose comme le vainqueur évident, appelé vainqueur de Condorcet.
Dans ce scénario plus complexe, en appliquant la mécanique de pierre-feuille-ciseaux, il n'y a aucun intérêt à jouer D, car il est toujours battu par A, B et C. Mais il existe un cycle (un paradoxe de Condorcet) entre A, B et C. La stratégie optimale serait alors : P(A) = P(B) = P(C) = 1/3, et P(D) = 0. Ainsi, l'ensemble bipartisan est {A, B, C}. Un second tour est donc lancé où les candidats A, B et C sont notés par score.
Un cas encore plus compliqué : il y a toujours un cycle entre A, B, C, mais cette fois D parvient à battre un candidat de tête (A). Cependant, D peut être vu comme un sous-clone de C. Chaque duel gagné par D est aussi gagné par C, et C surpasse D. Traduit en jeu de type pierre-feuille-ciseaux, il est toujours plus avantageux de choisir C plutôt que D. La stratégie imbattable reste P(A) = P(B) = P(C) = 1/3, et P(D) = 0, d'où l'ensemble bipartisan {A, B, C}.
Juste pour le plaisir, cet exemple montre que cela peut être encore plus compliqué. D serait presque un sous-clone de A mais il gagne contre E alors que E bat A. Cette fois, pour montrer que la stratégie optimale est P(A) = P(B) = P(C) = 1/3, et P(D) = P(E) = P(F) = 0, il faut voir que chaque élément est battu au moins aussi souvent qu'il ne gagne face à cette stratégie, et en effet :
- A gagne 1/3 du temps contre C, mais perd 1/3 du temps contre B (égalité avec lui-même 1/3 du temps)
- B gagne 1/3 du temps contre A, mais perd 1/3 du temps contre C
- C gagne 1/3 du temps contre B, mais perd 1/3 du temps contre A
- D ne gagne que 1/3 du temps contre C, mais perd 2/3 du temps contre A et B
- E ne gagne que 1/3 du temps contre A, mais perd 2/3 du temps contre B et C
- F ne gagne que 1/3 du temps contre B, mais perd 2/3 du temps contre A et C
III. Pourquoi ne pas prendre plus de candidats ? (Le Smith set ?)
Le Smith set comprend les candidats qui battent tous les autres hors de l'ensemble en duel. Dans l'exemple ci-contre, on voit la différence entre le Smith set et l'ensemble bipartisan.
L'avantage de l'ensemble bipartisan sur le Smith set est sa capacité à fournir une sélection affinée dès le premier tour, simplifiant ainsi le vote par score et limitant l'influence du vote stratégique.
En effet, dans l'exemple 4 ci-dessus, si un votant a des préférences à peu près linéaires sur 6 candidats (c.-à-d. des approbations A:1, B:0,8, C:0,6, D:0,4, E:0,2, F:0) et si les deux premiers candidats de la liste globale sont B et C, ce votant devrait mettre A:1, B:1, C:0, D:0, E:0, F:0. Ce faisant, il a 5 fois plus d'influence pour élire B plutôt que C que s'il notait sincèrement. Plus il y a de candidats, plus ce ratio peut être important statistiquement ; le vote par score est donc préférable quand le nombre de candidats est faible, ce qui justifie de choisir l'ensemble bipartisan plutôt que le Smith set.
De plus, l'ensemble bipartisan élimine les « clones » non pertinents, garantissant qu'ils n'interfèrent pas avec le reste de l'élection.