バイパルチザン/採点投票方式

I. 原則
選挙は2回の投票で構成され、第2回は瞬時に行われる場合があります:
II. バイパルチザン集合の形成方法

バイパルチザン集合の形成は、じゃんけんのような戦略ゲームを彷彿とさせます。この比較により、そのプロセスをより理解しやすくなります。

A. 対決グラフ

まず、候補者をじゃんけんのグー・チョキ・パーのようなゲーム要素として捉えます。候補者間の関係を明らかにするため、「対決グラフ」を作成します。このグラフでは各候補者がノードとして表され、一対一の比較である候補者が別の候補者より好まれる場合、勝者のノードから敗者のノードへ矢印が引かれます。以下にこのグラフの例を示します:

重要な点として、バイパルチザン集合の形成はこのグラフの構造のみに依存し、各一対一比較で得られた票数には依存しません。

B. 最適戦略の特定

グラフのあらゆる構成に対して、じゃんけんのような最適で負けない戦略が存在します。じゃんけんを例に取ると、グー・チョキ・パーをそれぞれ1/3ずつ出すことが負けない戦略となります。これは、他のどの戦略も長期的にこれを上回ることが期待できないことを意味します。しかし、もしパーがグーに負けるようにルールを変更すると、最適戦略は常にグーを選ぶことに変わります。この変更されたゲームでは、グーがバイパルチザン集合の唯一の要素となります。

要するに、バイパルチザン集合は対決グラフを分析し、最適で負けない戦略を特定し、その戦略においてゼロでない確率を持つ候補者を選ぶことで構成されます。

C. バイパルチザン集合の実例
例1:

A > B かつ A > C というシナリオでは、じゃんけんのようなゲームにおいて勝率を最大化するにはAを選ぶ必要があります。Aは明確な勝者として現れ、コンドルセ勝者と呼ばれます。

例2:

このより複雑なシナリオでは、じゃんけんのゲームの仕組みを適用すると、Dを選ぶ意味はありません。DはA、B、Cのいずれにも常に負けるためです。しかしA、B、Cの間には循環（コンドルセのパラドックス）があります。最適戦略はP(A) = P(B) = P(C) = 1/3、P(D) = 0となります。したがって、バイパルチザン集合は{A, B, C}で構成されます。その結果、候補者A、B、Cを対象に採点投票を行う第2回投票が開始されます。

例3:

さらに複雑なケースとして、A、B、Cの間に依然として循環がありますが、このDという候補が有力候補（A）に勝ってしまいます。しかしこれはCの疑似クローンと見なすことができます。Dが勝つすべての対決はCも勝っており、かつCはDに勝っています。これをじゃんけんのようなゲームに置き換えると、DよりCを選ぶ方が常に有利ということになります。負けない戦略は依然としてP(A) = P(B) = P(C) = 1/3、P(D) = 0であり、バイパルチザン集合は{A, B, C}となります。

例4:

余談ですが、あるいは頭の体操として、この例はさらに複雑になり得ることを示しています。DはAのほぼ疑似クローンですが、EにはDが勝ち、そのEはAに勝ちます。今回は最適戦略がP(A) = P(B) = P(C) = 1/3、P(D) = P(E) = P(F) = 0であることを示すため、各要素がこの戦略に対して勝つ頻度と少なくとも同じ頻度で負けることを確認する必要があります。実際には次の通りです:

  • Aは1/3の確率でCに勝ちますが、Bには1/3の確率で負けます（自分自身との引き分けが1/3）
  • Bは1/3の確率でAに勝ちますが、Cには1/3の確率で負けます
  • Cは1/3の確率でBに勝ちますが、Aには1/3の確率で負けます
  • DはCに対して1/3の確率でしか勝てず、AとBには2/3の確率で負けます
  • EはAに対して1/3の確率でしか勝てず、BとCには2/3の確率で負けます
  • FはBに対して1/3の確率でしか勝てず、AとCには2/3の確率で負けます
したがって、バイパルチザン集合は{A, B, C}です。
III. なぜもっと多くの候補者を含めないのか？（スミス集合とは？）

スミス集合は、集合外のすべての候補者に一対一比較で勝てる候補者から構成されます。隣の例では、スミス集合とバイパルチザン集合の違いを確認できます。

バイパルチザン集合がスミス集合より優れている点は、第1回投票でより絞り込んだ選択を提供できることにあり、これにより採点投票のプロセスが簡素化され、戦略投票の影響が抑えられます。

実際、上記の例4において、ある投票者が6人の候補者に対してほぼ線形な選好を持っている場合（すなわち承認度がA:1、B:0.8、C:0.6、D:0.4、E:0.2、F:0）、全体の上位2候補がBとCであるならば、この投票者はA:1、B:1、C:0、D:0、E:0、F:0と設定すべきです。こうすることで、正直に評価した場合と比べて、BをCより当選させる影響力が5倍になります。候補者数が多いほど、この比率は統計的に大きくなり得るため、候補者数が少ない場合は採点投票の方が優れていると考えられ、これがスミス集合よりバイパルチザン集合を選ぶ理由の一つです。

さらに、バイパルチザン集合は無関係な「クローン」を排除し、それらが選挙の残りの部分に影響を及ぼさないようにします。